相似三角形斜双八字型讲解,相似三角形八字模型证明过程

1、相似三角形斜双八字型讲解

相似三角形的斜双八字型

在两个相似三角形中，如果这两对相应边上的射线相交，那么在与这两对边平行的直线上，与这两个交点相邻的线段相等。

抽象地说，如果△ABC ~ △DEF，则

AB∥DE，AC∥DF

G、H 是射线 AB、DE 上的点

K、L 是射线 AC、DF 上的点

那么，GL = HK。

证明：

因为△ABC ~ △DEF，所以

∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F

因此，△AGK ~ △DHK（AA相似）

所以，AG/DH = GK/HK

同理，△BGL ~ △EHL（AA相似）

所以，BG/EL = GL/HL

由于平行线的对应角相等，所以∠AGH = ∠DGH，∠BGL = ∠EHL

因此，△AGH ~ △DGH（AA相似），△BGL ~ △EHL（AA相似）

所以，AG/DH = GH/HD，BG/EL = GL/LE

令 x = GH/HD，y = GL/LE，则

AG/DH = GK/HK = x

BG/EL = GL/HL = y

所以，xAG = GK，yBG = GL

因此，

AG + BG = GK + GL

(x + y)AG = (x + y)GL

AG = GL

所以，GL = HK。

例题：

在△ABC 中，AB = 6cm，AC = 8cm，∠B = 45°。在△DEF 中，DE = 9cm，DF = 12cm，∠E = 45°。若△ABC ~ △DEF，且射线 AB 和 DE 相交于点 G，AC 和 DF 相交于点 H，求 GH 的长度。

解：

因为△ABC ~ △DEF，所以 GH = GL（相似三角形的斜双八字型）

△AGK ~ △DHK（AA相似）

所以，AG/DH = GK/HK

又因 AB = 6cm，DE = 9cm，所以 AG = 3cm，DH = 5cm

所以，GK/HK = 3/5

同理，△BGL ~ △EHL（AA相似）

所以，GL/HL = 3/5

因此，GL = 3HK/5

又因 GH = GL，所以

GH = 3HK/5

即 5GH = 3HK

2GH = HK

GH = HK/2

所以，GH = HK/2 = 6cm。

2、相似三角形八字模型证明过程

相似三角形八字模型证明

给定：三角形ABC和DEF，其中∠ABC ? ∠DEF，∠BCA ? ∠EDF

要证明：△ABC ~ △DEF

证明：

步骤 1：由于∠ABC ? ∠DEF，根据公共角性质，∠BAC ? ∠EDF。

步骤 2：同时，由于∠BCA ? ∠EDF，根据公共角性质，∠ACB ? ∠DFE。

步骤 3：现在，我们有两个三角形（△ABC和△DEF）具有三个分别相等的角：

∠ABC = ∠DEF

∠BAC = ∠EDF

∠BCA = ∠DFE

步骤 4：根据角度相等定理，两个三角形如果具有三个相等的角，那么它们是相似的。

因此，我们得出结论：

△ABC ~ △DEF

这证明了相似三角形八字模型，即两个三角形如果具有三个分别相等的角，那么它们是相似的。

3、相似三角形八字形比例式

如果两个三角形相似，则它们对应的边成正比，且面积比为对应高的平方之比。

对于相似三角形，若它们的对应高分别为 h1 和 h2，则有比例式：

a1/b1 = a2/b2 = a3/b3 = c1/c2 = h1/h2

其中：

a1、a2、a3 分别为两三角形对应边的长度

b1、b2、b3 分别为两三角形对应边的长度

c1、c2 分别为两三角形的第三边长度

h1、h2 分别为两三角形的对应高

此比例式称为“相似三角形八字形比例式”。

4、相似三角形八字形例题

相似三角形八字形例题：

已知：

三角形 ABC 和 DEF

∠A = ∠D

∠C = ∠F

AB = 6 cm, BC = 8 cm, AC = 10 cm

DE = 4 cm, EF = 5 cm, DF = 6 cm

证明：

三角形 ABC 和 DEF 相似。

证明：

1. 证明两对角相等：

∠A = ∠D（已知）

∠C = ∠F（已知）

2. 证明两边成正比：

AB / DE = 6 cm / 4 cm = 3 / 2

BC / EF = 8 cm / 5 cm = 8 / 5 = 3 / 2

AC / DF = 10 cm / 6 cm = 5 / 3 = 3 / 2

由于所有对应边都成正比，因此三角形 ABC 和 DEF 相似。

结论：

三角形 ABC 和 DEF 相似。